Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР
Лабораторна робота №2 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ Виконав: cт. гр. КН-3 Львів-2008 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Формулювання задачі наближення функцій Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію
, якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції
взагалі невідомий, а відомі лише її значення у скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому викликає потреба вихідну функцію
наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією
, в певному розумінні близькою до
і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини Х вважають
Функцію
, називають апроксимуючою. Близькість функцій
і
можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані
. По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації. Часто апроксимуючу функцію
беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінченну чи зчисленну множину
, причому будь-яка скінченна система елементів
лінійно незалежна. Тобто
беруть у вигляді:
, (1) де
– сталі коефіцієнти. Як функції
часто використовують многочлени. Функцію
в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами. У цьому випадку задачу апроксимації можна сформулювати так. Задано функцію f(x). Потрібно знайти такий узагальнений многочлен
, підібрати його коефіцієнти
, щоб відхилення (в деякому розумінні) функції f(x) від
на заданій множині Х було найменшим. Нехай у точках
з відрізку [а,в] відомі значення функції y=f(x):
. Розглянемо один з випадків апроксимації, що називається інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти
многочлена (1) добирають так, щоб у точках x
(i=0,1,..,n) значення функцій
і f(x) збігалися, тобто:
(i=0,1,..,n). (2) Точки x
(i=0,1,..,n) називаються вузлами інтерполювання, а многочлен
– інтерполяційним многочленом. Формулу y=
, знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв'язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів (серед яких немає таких, що збігаються
) визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю. Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. Очевидно, вимога лінійної незалежності системи
є необхідною умовою для того, щоб ця система функцій була системою Чебишова. При інтерполюванні узагальнений многочлен будують за деякою Чебишовською системою функцій. На практиці систему
часто беруть у вигляді послідовності невід'ємних степенів змінної x, тобто:
(i=0,1,..,n). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними многочленами.
. Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним. 2.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа Нехай у точках x
(i=0,1,..,n)
, з відрізка [а,в] задано значення функції y=f(x) : y
=f(x
). Треба побудувати такий поліном
(степеня, не вищого за n), який у вузлах
набуває тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто:
(i=0,1,..,n). (3) Щоб дістати інтерполяційний многочлен в явному вигляді, не обов'язково розв'язувати систему лінійних рівнянь, його можна побудувати безпосередньо так, щоб задовольнялась умова (3). Многочлен
шукається у вигляді лінійної комбінації деяких многочленів степеня n, причому коефіцієнтами цієї...